令和4年度 春期 午前Ⅰ 問題【共通】 問1

問題文で与えられたハミング符号の構成と条件式をもとに、誤りビットを特定し訂正します。

誤りビットの特定

受信したハミング符号は $1110011$ であり、各ビットは左から順に $X_1 X_2 X_3 P_3 X_4 P_2 P_1$ に対応しています。各ビットの値を書き出すと以下のようになります。

• $X_1 = 1$
• $X_2 = 1$
• $X_3 = 1$
• $P_3 = 0$
• $X_4 = 0$
• $P_2 = 1$
• $P_1 = 1$

これらを問題文の3つの条件式に代入し、結果を確認します（$\oplus$ は排他的論理和であり、1の数が奇数なら1、偶数なら0となります）。

1. $X_1 \oplus X_3 \oplus X_4 \oplus P_1 = 1 \oplus 1 \oplus 0 \oplus 1 = 1$
2. $X_1 \oplus X_2 \oplus X_4 \oplus P_2 = 1 \oplus 1 \oplus 0 \oplus 1 = 1$
3. $X_1 \oplus X_2 \oplus X_3 \oplus P_3 = 1 \oplus 1 \oplus 1 \oplus 0 = 1$

すべての式の結果が $0$ にならず、$1$ となりました。これは、すべての式に含まれているビットに誤りがあることを示しています。
3つの式のすべてに含まれている共通の変数は $X_1$ のみです。したがって、誤っているのは先頭ビットの $X_1$ だと特定できます。

データの訂正

現在の $X_1$ は $1$ なので、正しい値は $0$ になります。先頭ビットを $0$ に訂正すると、ハミング符号は $0110011$ となります。
したがって、正解は ア です。

各選択肢の解説

• ア: 正解。$X_1$ を $0$ に訂正した正しいハミング符号です。
• イ: 2ビット目の $X_2$ を $0$ に訂正しています。もし $X_2$ が誤りであれば、式1には $X_2$ が含まれていないため式1の結果は $0$ になるはずですが、実際には式1もエラーを示しているため不適切です。
• ウ: 3ビット目の $X_3$ を $0$ に訂正しています。もし $X_3$ が誤りであれば、式2には $X_3$ が含まれていないため式2の結果は $0$ になるはずですが、実際には式2もエラーを示しているため不適切です。
• エ: 5ビット目の $X_4$ を $1$ に訂正しています。もし $X_4$ が誤りであれば、式3には $X_4$ が含まれていないため式3の結果は $0$ になるはずですが、実際には式3もエラーを示しているため不適切です。