令和3年度 秋期 応用情報技術者試験 午前 問題 問76

この問題は、与えられた制約条件の下で利益を最大化する線形計画問題です。
製品Xの製造台数を $x$ 台、製品Yの製造台数を $y$ 台とします。

1. 目的関数の立式
   製品1台当たりの利益はX、Yともに1万円であるため、利益（万円）を表す目的関数 $Z$ は以下の式になります。
   $$Z = x + y$$
   これを最大化する $x, y$ の組み合わせを求めます。

2. 制約条件の立式
   画像「単位 個」の表と問題文の条件から、使用できる部品の上限についての不等式を立てます。

• 部品Aについて：製品Xに3個、製品Yに2個使用し、最大120個まで使えるため
  $$3x + 2y \le 120$$
• 部品Bについて：製品Xに1個、製品Yに2個使用し、最大60個まで使えるため
  $$x + 2y \le 60$$
• また、製造台数は0以上であるため
  $$x \ge 0, \quad y \ge 0$$

3. 最大値の算出
   利益が最大となるのは、不等式が表す領域の頂点（境界線の交点）です。連立方程式を解いて交点を求めます。
   $$3x + 2y = 120$$
   $$x + 2y = 60$$
   上の式から下の式を引くと、
   $$2x = 60 \implies x = 30$$
   $x = 30$ を下の式に代入すると、
   $$30 + 2y = 60 \implies 2y = 30 \implies y = 15$$
   交点は $(x, y) = (30, 15)$ となります。

他の領域の頂点における利益も確認します。

• $(x, y) = (0, 0)$ のとき：利益 $0 + 0 = 0$ 万円
• $(x, y) = (40, 0)$ のとき（部品Aを使い切る）：利益 $40 + 0 = 40$ 万円
• $(x, y) = (0, 30)$ のとき（部品Bを使い切る）：利益 $0 + 30 = 30$ 万円
• $(x, y) = (30, 15)$ のとき（部品A, Bを両方使い切る）：利益 $30 + 15 = 45$ 万円

以上より、利益の最大値は 45 万円となり、正解は「ウ」です。

各選択肢の解説

• ア: 製品Yのみを部品Bの上限まで製造した場合（$x=0, y=30$）の利益ですが、最大値ではありません。
• イ: 製品Xのみを部品Aの上限まで製造した場合（$x=40, y=0$）の利益ですが、最大値ではありません。
• ウ: 正解です。制約条件を満たしつつ利益が最大（$x=30, y=15$）となる値です。
• エ: 条件を無視して計算した誤答です。例えば利益が60万円になるためには $x+y=60$ となる必要がありますが、これらはいずれも部品Aや部品Bの使用上限をオーバーするため製造できません。