平成27年度 秋期 システムアーキテクト試験 午前Ⅱ 問20

正解は ウ です。

アムダールの法則において、並列化可能部の割合を $P$（$0 \le P \le 1$）、プロセッサ数を $N$ とすると、性能向上比は以下の式で表されます。

$$性能向上比 = \frac{1}{(1 - P) + \frac{P}{N}}$$

ここで、並列化可能部の割合 $P = 0.5$ を代入すると、以下のようになります。

$$性能向上比 = \frac{1}{(1 - 0.5) + \frac{0.5}{N}} = \frac{1}{0.5 + \frac{0.5}{N}}$$

プロセッサ数 $N$ を無限に増やした（$N \to \infty$）場合、$\frac{0.5}{N}$ は $0$ に近づくため、性能向上比の上限（極限値）は以下のようになります。

$$\lim_{N \to \infty} \frac{1}{0.5 + \frac{0.5}{N}} = \frac{1}{0.5 + 0} = 2$$

したがって、プロセッサ数をいくら増やしても、性能向上比が 2 を超えることはありません。

各選択肢の解説

• ア：誤りです。プロセッサ数 $N$ が一定の場合、分母の式 $(1 - P) + \frac{P}{N} = 1 - P\left(1 - \frac{1}{N}\right)$ に変数 $P$ が含まれるため、性能向上比は $P$ に単純には比例しません。
• イ：誤りです。並列化可能部の割合 $P$ が大きくなるほど分母が小さくなり性能向上比は大きくなるため、反比例するというのは誤りです。
• ウ：正しいです。上記の計算の通り、$P = 0.5$ のとき、性能向上比は $2$ 未満となります。
• エ：誤りです。反例として、$P = 0.9$、プロセッサ数 $N = 100$ の場合を計算すると、
  $$性能向上比 = \frac{1}{(1 - 0.9) + \frac{0.9}{100}} = \frac{1}{0.1 + 0.009} = \frac{1}{0.109} \approx 9.17$$
  となり、プロセッサ数の半分（$100 \div 2 = 50$）には遠く及びません。