令和7年度 春期 応用情報技術者試験 午前 問1

本問は、論理演算における含意（$A \to B$）の性質を理解しているかを問う問題です。

含意の性質
$A \to B$ は、「$A$ が真 かつ $B$ が偽」のときのみ偽となり、それ以外（$A$ が偽の場合や $A, B$ が共に真の場合）はすべて真となります。特に、「前提 $A$ が偽であれば、結論 $B$ の真偽にかかわらず全体は真になる」という性質が重要です。

与えられた条件より、$P$ と $Q$ はともに真（$T$）です。
したがって、$\overline{P}$ と $\overline{Q}$ はともに偽（$F$）となります。

各選択肢の解説

• ア: $((P \to Q) \land (Q \to P)) \to (R \to \overline{Q})$
  • 左辺: $(T \to T) \land (T \to T) = T \land T = T$
  • 右辺: $R \to F$
  • 全体: $T \to (R \to F)$
  • $R$ が真（$T$）のとき、右辺は $T \to F = F$ となり、全体は $T \to F = F$（偽）となります。したがって、$R$ の真偽にかかわらず真とはなりません。
• イ: $((P \to Q) \land (\overline{Q} \to \overline{P})) \to (Q \to R)$
  • 左辺: $(T \to T) \land (F \to F) = T \land T = T$
  • 右辺: $T \to R$
  • 全体: $T \to (T \to R)$
  • $R$ が偽（$F$）のとき、右辺は $T \to F = F$ となり、全体は $T \to F = F$（偽）となります。したがって、$R$ の真偽にかかわらず真とはなりません。
• ウ: $((P \to \overline{Q}) \lor (Q \to P)) \to (R \to \overline{Q})$
  • 左辺: $(T \to F) \lor (T \to T) = F \lor T = T$
  • 右辺: $R \to F$
  • 全体: $T \to (R \to F)$
  • アと同様に、$R$ が真（$T$）のとき全体は偽となります。
• エ: $((P \to \overline{Q}) \lor (Q \to \overline{P})) \to (Q \to R)$
  • 左辺: $(T \to F) \lor (T \to F) = F \lor F = F$
  • 右辺: $T \to R$
  • 全体: $F \to (T \to R)$
  • 含意において、「左辺が偽（$F$）」である場合、右辺の真偽にかかわらず式全体は必ず真（$T$）になります。よって、$R$ の真偽にかかわらず常に真となります。（正解）