令和4年度 秋期 応用情報技術者試験 午前 問3

テクノロジ基礎理論確率・統計・待ち行列

製品100個を1ロットとして生産する。一つのロットからサンプルを3個抽出して検査し, 3個とも良品であればロット全体を合格とする。100個中に10個の不良品を含むロットが合格と判定される確率は幾らか。

解答・解説

正解: ア. 178/245178 / 245

この問題は、与えられた条件から非復元抽出における確率を計算する問題です。

正解の根拠

1ロット100個の中に不良品が10個含まれているため、良品は 90個 です。
このロットからサンプルを3個抽出して、3個とも良品である（すなわちロットが合格と判定される）確率を求めます。

合格となる確率は、以下の式で計算できます。
合格となる確率=90C3100C3 \text{合格となる確率} = \frac{_{90}C_3}{_{100}C_3}

それぞれの組み合わせを計算します。

  • 分母（100個から3個抽出する組み合わせ）:
    100C3=100×99×983×2×1 _{100}C_3 = \frac{100 \times 99 \times 98}{3 \times 2 \times 1}
  • 分子（90個の良品から3個抽出する組み合わせ）:
    90C3=90×89×883×2×1 _{90}C_3 = \frac{90 \times 89 \times 88}{3 \times 2 \times 1}

これを分数にして計算を進めます。
90C3100C3=90×89×88100×99×98 \frac{_{90}C_3}{_{100}C_3} = \frac{90 \times 89 \times 88}{100 \times 99 \times 98}

約分を行います。

  1. 9090 と 100100 を 1010 で約分すると、それぞれ 99 と 1010 になります。
  2. その 99 と分母の 9999 を約分すると、分母に 1111 が残ります。
  3. 分子の 8888 と分母の 1111 を約分すると、分子に 88 が残ります。
  4. これにより式は 89×810×98\frac{89 \times 8}{10 \times 98} となります。
  5. さらに 88 と 1010 を 22 で約分し、89×45×98\frac{89 \times 4}{5 \times 98} とします。
  6. 最後に 44 と 9898 を 22 で約分し、89×25×49=178245\frac{89 \times 2}{5 \times 49} = \frac{178}{245} となります。

したがって、合格となる確率は 178/245178 / 245 となります。

各選択肢の解説

  • ア: 正しい。上記の計算の通り、178/245178 / 245 となります。
  • イ: 誤り。計算過程での約分ミスや立式を誤った場合の値です。
  • ウ: 誤り。不良品の数や抽出数を誤って計算した場合の値です。
  • エ: 誤り。復元抽出などの異なる条件で計算したり、計算ミスをした場合の値です。

Spineチーム