令和5年度 秋期 応用情報技術者試験 午前 問1

解法のポイント

• 2桁の2進数 $x_1 x_2$ を10進数の式で表すと $x = 2x_1 + x_2$ となることを理解する。
• 逆順にした2進数 $x_2 x_1$ を10進数で表すと $y = 2x_2 + x_1$ となる。
• $\text{int}\left(\frac{x}{2}\right)$ が何を表すか（$x_1$ であること）を見抜く。

解説

2進数 $x_1 x_2$ を10進数で表すと、$x_1$ は2の位、$x_2$ は1の位なので、
$$x = 2x_1 + x_2$$
と表すことができます（$x_1, x_2$ はともに 0 または 1）。

求めたいのは 2進数 $x_2 x_1$ が表す整数なので、これを $y$ とおくと、
$$y = 2x_2 + x_1$$
となります。この $y$ を $x$ を用いて表します。

ここで、$\text{int}\left(\frac{x}{2}\right)$ について考えます。
$$\frac{x}{2} = \frac{2x_1 + x_2}{2} = x_1 + \frac{x_2}{2}$$
$x_2$ は 0 または 1 なので、$\frac{x_2}{2}$ は 0 または 0.5 です。
$\text{int}(r)$ は小数点以下を切り捨てた整数を表すため、
$$\text{int}\left(\frac{x}{2}\right) = x_1$$
となります。

$x_1 = \text{int}\left(\frac{x}{2}\right)$ とわかったので、これを $x = 2x_1 + x_2$ に代入して $x_2$ について解くと、
$$x_2 = x - 2x_1 = x - 2\text{int}\left(\frac{x}{2}\right)$$
となります。

最後に、$y = 2x_2 + x_1$ に $x_1$ と $x_2$ を代入します。
$$y = 2\left(x - 2\text{int}\left(\frac{x}{2}\right)\right) + \text{int}\left(\frac{x}{2}\right)$$
$$y = 2x - 4\text{int}\left(\frac{x}{2}\right) + \text{int}\left(\frac{x}{2}\right)$$
$$y = 2x - 3\text{int}\left(\frac{x}{2}\right)$$

よって、正解は ウ です。

各選択肢の解説

具体例として、2進数 $10$ （$x_1=1, x_2=0$）の場合を考えてみます。
このとき、$x = 2$ となり、求めたい 2進数 $01$ が表す整数は $y = 1$ です。
また、$\text{int}\left(\frac{x}{2}\right) = \text{int}(1) = 1$ となります。
これらを各選択肢の式に代入して、$1$ になるかを確認します。

• ア: $2(2) + 4(1) = 8 \neq 1$ となり誤りです。
• イ: $2(2) + 5(1) = 9 \neq 1$ となり誤りです。
• ウ: $2(2) - 3(1) = 1$ となり、結果が一致するため 正解 です。
• エ: $2(2) - 4(1) = 0 \neq 1$ となり誤りです。