平成28年度 秋期 システムアーキテクト試験 午前Ⅱ 問20

グラフの読み取りと故障率の関係

問題文で定義されている時刻 $0$ から時刻 $t$ までの累積故障率を $F(t)$ とします。

1. 累積故障率の傾き（故障密度関数）
   グラフの接線の傾き $\frac{dF(t)}{dt}$ は、単位時間あたりに新たに故障する製品の割合（故障密度関数 $f(t)$）を表します。
   図のグラフを見ると、時刻 $t = 0$ 付近では曲線の傾きが $0$ に近く、しばらくの間は下に凸の形状（傾きが時間とともに大きくなる形状）で増加していることが読み取れます。

2. 故障率の振る舞い
   ある時刻 $t$ まで稼働している製品が単位時間あたりに故障する割合を表す故障率 $\lambda(t)$ は、次の式で表されます。
   $$\lambda(t) = \frac{f(t)}{1 - F(t)} = \frac{1}{1 - F(t)}\frac{dF(t)}{dt}$$
   時刻 $0$ 付近では $F(t)$ は $0$ に近いため、分母の $1 - F(t)$ はほぼ $1$ です。したがって、時刻 $0$ 付近の故障率 $\lambda(t)$ は、グラフの傾き $\frac{dF(t)}{dt}$ とほぼ同じ振る舞いをします。

3. 結論
   時刻 $0$ 付近において、グラフの傾きは $0$ に近い値から始まり、しばらくの間（変曲点に達するまで）時間とともに増加しているため、故障率も$0$ に近い値からしばらくの間は時間とともに増加すると読み取れます。したがって、正解はアです。

各選択肢の解説

• ア：正解です。時刻 $0$ 付近でグラフの傾きが $0$ に近い状態から徐々に急になっている（下に凸である）ことと一致します。
• イ：誤りです。もしある時刻まで故障率が一定でその後減少するのであれば、時刻 $0$ 付近からグラフは上に凸の形状で立ち上がるはずであり、図の形状と異なります。
• ウ：誤りです。初期故障期のように故障率が正の値から時間とともに減少する場合、累積故障率のグラフは時刻 $0$ から急な傾きで立ち上がり、最初から上に凸の形状になります。
• エ：誤りです。偶発故障期のように故障率が一定の正の定数 $\lambda$ である場合、累積故障率は $F(t) = 1 - e^{-\lambda t}$ となり、時刻 $0$ で最大の傾き $\lambda$ を持ち、常に上に凸の曲線となって $1$ に漸近します。